लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) – विस्तृत नोट्स

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF)

सम्पूर्ण मास्टर नोट्स — कक्षा 9वीं, 10th, 11वीं एवं प्रतियोगी परीक्षाओं हेतु

1. सैद्धांतिक और बुनियादी अवधारणाएं (Theoretical Concepts)

A. गुणज (Multiples) और गुणनखंड (Factors) क्या हैं?

LCM और HCF को गहराई से समझने के लिए संख्याओं के इस बुनियादी गुण को समझना अत्यंत आवश्यक है:

गुणनखंड (Factor): यदि एक संख्या ‘A’ दूसरी संख्या ‘B’ को पूरी तरह विभाजित (divide) कर देती है, तो A को B का गुणनखंड कहा जाता है। (जैसे: 3, 12 का एक गुणनखंड है)।
गुणज (Multiple): जब किसी संख्या को किसी पूर्णांक (Integer) से गुणा करते हैं, तो प्राप्त होने वाली संख्याएं गुणज कहलाती हैं। (जैसे: 12, 3 का एक गुणज है)।

B. लघुत्तम समापवर्त्य (LCM – Least Common Multiple)

दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है, जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित (विभाज्य) हो जाए।

NCERT मुख्य बिंदु: दी गई संख्याओं का LCM हमेशा उन संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है। LCM कभी भी किसी भी दी गई संख्या से छोटा नहीं हो सकता।

C. महत्तम समापवर्तक (HCF – Highest Common Factor)

दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या होती है, जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित कर सके। इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है।

NCERT मुख्य बिंदु: दी गई संख्याओं का HCF हमेशा उन संख्याओं में से सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे छोटा होता है।

2. गणना करने की विस्तृत विधियाँ (Methods of Calculation)

विधि 1: अभाज्य गुणनखण्ड विधि (Prime Factorization Method)

यह कक्षा 9वीं और 10वीं के ‘वास्तविक संख्याएं’ (Real Numbers) अध्याय का मुख्य नियम है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय):

चरण 1 सभी संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड कीजिए (उन्हें अभाज्य संख्याओं की घात के रूप में लिखिए)।
चरण 2 HCF के लिए: जो अभाज्य गुणनखंड सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ (Common) हैं, उनकी सबसे छोटी घात (Lowest Power) का गुणा करें।
चरण 3 LCM के लिए: गुणनखंड में शामिल सभी अभाज्य संख्याओं की सबसे बड़ी घात (Highest Power) का गुणा करें।

विस्तृत उदाहरण: 24, 36 और 40 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले अभाज्य गुणनखंड करते हैं:

• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹

• 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

• 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5¹

HCF की गणना: तीनों में कॉमन अभाज्य गुणनखंड केवल ‘2’ है। 2 की सबसे छोटी घात 2² है। बाकी कोई गुणनखंड कॉमन नहीं है।

👉 HCF = 2² = 4

LCM की गणना: सभी अभाज्य गुणनखंडों (2, 3, और 5) की सबसे बड़ी घातों को चुनेंगे: 2 की अधिकतम घात 2³, 3 की अधिकतम घात 3², और 5 की अधिकतम घात 5¹ है।

👉 LCM = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360

विधि 2: भाग विधि (Long Division Method)

जब संख्याएं बहुत बड़ी हों (जैसे 4 या 5 अंकों की), तब भाग विधि सबसे तेज काम करती है।

HCF के लिए (यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका): बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। जो शेषफल बचे, उससे पिछले भाजक को भाग दें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराएं जब तक शेषफल शून्य (0) न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होगा।
LCM के लिए: सभी संख्याओं को एक पंक्ति में अल्पविराम (comma) लगाकर लिखें और अभाज्य संख्याओं से एक साथ भाग देते जाएं जब तक कि अंत में 1, 1, 1 न बच जाए।

3. एडवांस्ड सूत्र और प्रमेयात्मक नियम (Advanced Formulas)

प्रतियोगी परीक्षाओं और ओलंपियाड के लिए यह खंड सबसे महत्वपूर्ण है:

नियम 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल नियम (Product Rule for Two Numbers)

यदि केवल दो संख्याएं ‘A’ और ‘B’ दी गई हों, तो:

पहली संख्या (A) × दूसरी संख्या (B) = LCM(A, B) × HCF(A, B)

सावधान! (परीक्षा विशेष): यह नियम तीन या उससे अधिक संख्याओं के लिए लागू नहीं होता है। अर्थात A × B × C ≠ LCM × HCF.

नियम 2: भिन्नों का ल.स. और म.स. (LCM & HCF of Fractions)

यदि संख्याएं भिन्न (p/q) के रूप में दी गई हों:

भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)

भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)

नियम 3: सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers Property)

ऐसी दो संख्याएं जिनका 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो (जैसे 8 और 15), उन्हें सह-अभाज्य संख्याएं कहते हैं। सह-अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है और उनका LCM हमेशा उनका गुणनफल (A × B) होता है।

नियम 4: घातांकों का ल.स. और म.स. (LCM & HCF of Exponents)

यदि आधार (Base) समान हो और घातें (Powers) अलग-अलग हों (जैसे 2³, 2⁵, 2⁸):

LCM: सबसे बड़ी घात वाली संख्या (2⁸)
HCF: सबसे छोटी घात वाली संख्या (2³)

4. वर्ड प्रॉब्लम्स की शार्टकट ट्रिक्स (Word Problems Master Matrix)

प्रश्नों की भाषा देखकर कैसे पहचानें कि LCM निकालना है या HCF? इस तालिका को ध्यान से देखें (आप इसे बाएं-दाएं स्क्रॉल कर सकते हैं):

प्रश्न के मुख्य शब्द / भाषा	क्या करना है? (मुख्य सूत्र)
वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे X, Y, Z को भाग देने पर कोई शेषफल न बचे।	X, Y, Z का HCF
वह बड़ी से बड़ी संख्या जिससे X, Y, Z को भाग देने पर हर बार समान ‘R’ शेषफल बचे।	(X-R), (Y-R), (Z-R) का HCF
वह बड़ी से बड़ी संख्या जिससे X, Y, Z को भाग देने पर अलग-अलग शेषफल a, b, c बचें।	(X-a), (Y-b), (Z-c) का HCF
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसमें X, Y, Z से पूरा-पूरा भाग चला जाए।	X, Y, Z का LCM
वह छोटी से छोटी संख्या जिसे X, Y, Z से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में ‘R’ शेषफल बचे।	[X, Y, Z का LCM] + R
वह छोटी से छोटी संख्या जिसे X, Y, Z से भाग देने पर अलग-अलग शेषफल a, b, c बचें।	[X, Y, Z का LCM] – K (जहाँ K = X-a = Y-b = Z-c हमेशा समान होता है)
घंटियों (Bells) का एक साथ बजना या चौराहे की बत्तियों का एक साथ बदलना।	दिए गए समय अंतरालों का हमेशा LCM निकालें।

5. उच्च स्तरीय अभ्यास प्रश्न (High-Level Practice Questions with Solutions)

प्रश्न 1 (गुणनफल नियम). दो संख्याओं का HCF 12 है और उनका अंतर (Difference) 12 है। यदि उनका LCM 72 है, तो वे संख्याएं ज्ञात कीजिए।

विस्तृत हल:
माना पहली संख्या = A तथा दूसरी संख्या = B.
सूत्रानुसार: A × B = LCM × HCF
A × B = 72 × 12 = 864.
हमें दिया गया है कि उनका अंतर 12 है, अर्थात: A – B = 12.
अब हमें ऐसे दो गुणनखंड चाहिए जिनका गुणा 864 हो और अंतर 12 हो। 864 को देखने पर: 36 × 24 = 864 और 36 – 24 = 12.
उत्तर: वे संख्याएं 36 और 24 हैं।

प्रश्न 2 (भिन्न प्रकार). 2/3, 4/5, और 6/7 का HCF ज्ञात कीजिए।

विस्तृत हल:
सूत्र: भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)
• अंश (Numerators) = 2, 4, 6. इनका HCF = 2 (क्योंकि 2 सबसे बड़ा कॉमन फैक्टर है)।
• हर (Denominators) = 3, 5, 7. चूंकि ये तीनों अभाज्य संख्याएं हैं, इनका LCM = 3 × 5 × 7 = 105।
उत्तर: 2/105

प्रश्न 3 (एडवांस्ड शेषफल). वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी है जिससे 1657 और 2037 को भाग देने पर क्रमशः 6 और 5 शेषफल बचे?

विस्तृत हल:
नियम के अनुसार सबसे पहले संख्याओं में से उनके संबंधित शेषफल को घटाएंगे:
• 1657 – 6 = 1651
• 2037 – 5 = 2032
अब हमें 1651 और 2032 का HCF ज्ञात करना है।
भाग विधि द्वारा:
2032 ÷ 1651 → शेषफल = 381
1651 ÷ 381 → शेषफल = 127
381 ÷ 127 → शेषफल = 0
अंतिम भाजक 127 है, इसलिए HCF 127 होगा।
उत्तर: 127

प्रश्न 4 (व्यावहारिक अनुप्रयोग). 4 अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक घंटियां क्रमशः 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ सुबह 8:00 बजे बजी थीं, तो 1 घंटे में वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?

विस्तृत हल:
सबसे पहले अंतरालों (6, 8, 12, 18) का LCM निकालते हैं:
• 6 = 2 × 3, • 8 = 2³, • 12 = 2² × 3, • 18 = 2 × 3²
LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 सेकंड।
अर्थात हर 72 सेकंड के बाद सभी घंटियां एक साथ बजेंगी।
1 घंटे में कुल सेकंड होते हैं = 3600 सेकंड।
एक साथ बजने की आवृत्ति = 3600 / 72 = 50 बार।
उत्तर: 50 बार (अंतरालों के रूप में)।

प्रश्न 5 (NCERT एक्जम्पलर एडवांस्ड). 5-अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 16, 24, 36 और 54 से पूरी तरह विभाजित हो जाए?

विस्तृत हल:
1. सबसे पहले 16, 24, 36, और 54 का LCM निकालेंगे जो 432 आएगा।
2. 5-अंकों की सबसे छोटी संख्या होती है = 10000.
3. अब 10000 को 432 से भाग देकर शेषफल पता करेंगे:
10000 ÷ 432 → इसमें भाग देने पर शेषफल बचेगा = 64.
4. 5-अंकीय छोटी संख्या बनाए रखने का सूत्र:
अभीष्ट संख्या = सबसे छोटी संख्या + (भाजक – शेषफल)
अभीष्ट संख्या = 10000 + (432 – 64) = 10000 + 368 = 10368.
उत्तर: 10368

LCM & HCF – 50 Questions Maha Test

LCM & HCF महा अभ्यास टेस्ट

कक्षा 9वीं-11वीं NCERT और प्रतियोगी परीक्षाओं के स्तर के कुल 50 प्रश्न।
नियम: हर प्रश्न के लिए 40 सेकंड का समय मिलेगा।

प्रश्न: 1/50 समय: 40s

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