भाग 1: अनुपात (Ratio) – बुनियादी से उन्नत समझ

जब हम एक ही प्रकार की दो राशियों की तुलना भाग (Division) विधि द्वारा करते हैं कि एक राशि दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुना है, तो इस गणितीय संबंध को अनुपात कहते हैं।

महत्वपूर्ण शब्दावली और नियम:

• पदों के नाम: अनुपात a : b में, पहले पद ‘a’ को Antecedent (पूर्वपद) और दूसरे पद ‘b’ को Consequent (उत्तरपद) कहा जाता है।
• इकाई रहित (Unitless): चूँकि अनुपात दो समान इकाइयों का अनुपात होता है, इसलिए इसकी कोई अपनी यूनिट नहीं होती।
• अपरिवर्तनीयता का नियम: यदि किसी अनुपात के दोनों पदों में एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो अनुपात का मान नहीं बदलता।
  a : b = am : bm = (a/m) : (b/m)

अनुपात के प्रकार (Types of Ratios):

1. Compounded Ratio (मिश्रित अनुपात): दो या दो से अधिक अनुपातों के पूर्वपदों का आपस में गुणा और उत्तरपदों का आपस में गुणा करने पर प्राप्त अनुपात।
   (a : b) और (c : d) का मिश्रित अनुपात = ac : bd
2. Duplicate Ratio (द्विघाती अनुपात): दिए गए अनुपात के पदों के वर्गों (Squares) का अनुपात।
   a : b का Duplicate Ratio = a² : b²
3. Sub-duplicate Ratio (वर्गमूलानुपात): पदों के वर्गमूल (Square Root) का अनुपात।
   a : b का Sub-duplicate Ratio = √a : √b

भाग 2: समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात आपस में पूरी तरह बराबर होते हैं, तो उनके इस संबंध को समानुपात कहा जाता है।

सतत समानुपात (Continued Proportion):

यदि तीन राशियाँ a, b, और c इस प्रकार हों कि a : b = b : c हो, तो वे सतत समानुपात में कहलाती हैं।

• यहाँ, b² = ac या b = √ac होता है।
• b को मध्यानुपाती (Mean Proportional) कहा जाता है।

भाग 3: समानुपात के उच्च-स्तरीय नियम (Theorems on Proportion)

यदि a/b = c/d हो, तो समीकरणों को हल करने के नियम नीचे दिए गए हैं:

भाग 4: महत्वपूर्ण उदाहरण और विस्तृत हल (Examples & Solutions)