संख्या पद्धति (Number System) – सम्पूर्ण नोट्स

संख्या पद्धति गणित का वह आधार है जिसमें हम संख्याओं के प्रकार, उनके गुणों और उनके बीच के संबंधों को समझते हैं।

1. संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)

• प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): गिनती में उपयोग होने वाली संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं।
  उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5, …
  विशेष नोट: इसमें शून्य (0) शामिल नहीं होता है।
• पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): यदि प्राकृतिक संख्याओं के समूह में शून्य (0) को भी शामिल कर लिया जाए, तो वे पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं।
  उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, …
• पूर्णांक (Integers): सभी पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक (negative) संख्याएँ मिलकर पूर्णांक बनाती हैं।
  उदाहरण: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• सम संख्याएँ (Even Numbers): वे संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित (भाग) हो जाती हैं।
  उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10, …
• विषम संख्याएँ (Odd Numbers): वे संख्याएँ जो 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती हैं।
  उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9, …
• अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): वे संख्याएँ जो केवल 1 से और खुद अपने आप से विभाजित होती हैं। इनके केवल दो गुणनखंड (factors) होते हैं।
  उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
  विशेष नोट: 2 सबसे छोटी और एकमात्र सम (even) अभाज्य संख्या है।
• भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers): वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं (यानी जो अभाज्य नहीं हैं)।
  उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10, …
  विशेष नोट: 1 न तो भाज्य संख्या है और न ही अभाज्य।
• परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): जिन संख्याओं को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है।
  उदाहरण: 3/4, -5/2, 7, 0.6
• अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): जिन संख्याओं को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इनका दशमलव प्रसार अशांत और अनावर्ती (non-terminating & non-repeating) होता है।
  उदाहरण: √2, √3, पाई (π)
• वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers): सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के सम्मिलित संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

2. स्थानीय मान और जातीय मान (Place Value & Face Value)

• जातीय मान (Face Value): किसी संख्या में किसी अंक का जातीय मान उसका अपना स्वयं का मान होता है, चाहे वह किसी भी स्थान पर हो।
  उदाहरण: संख्या 853 में 5 का जातीय मान 5 ही है।
• स्थानीय मान (Place Value): किसी संख्या में कोई अंक किस स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा आदि) पर है, उसके अनुसार उसका स्थानीय मान बदलता है।
  उदाहरण: संख्या 853 में 5 दहाई के स्थान पर है, इसलिए इसका स्थानीय मान 5 x 10 = 50 होगा।

3. विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

• 2 से विभाज्यता: यदि संख्या का अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 हो।
• 3 से विभाज्यता: यदि संख्या के सभी अंकों का योग 3 से विभाजित हो जाए।
• 4 से विभाज्यता: यदि संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाए।
• 5 से विभाज्यता: यदि संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 हो।
• 9 से विभाज्यता: यदि संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाए।

5 महत्वपूर्ण उदाहरण प्रश्न (Solutions के साथ)

संख्या पद्धति (Number System) Mock Test