पाइप्स एंड सिस्टर्न (Pipes and Cisterns)
भाग 1: बुनियादी अवधारणाएं (Basic Concepts)
गणितीय रूप से, पाइप और सिस्टर्न (नल और टंकी) का अध्याय पूरी तरह से Time and Work (समय और कार्य) के सिद्धांतों पर आधारित है। यहाँ ‘कार्य’ का अर्थ किसी टंकी को पानी से भरना या भरी हुई टंकी को खाली करना होता है।
मुख्य शब्दावली (Key Terms):
- Inlet Pipe (प्रवेशिका नल / भरने वाला पाइप): वह पाइप जो टंकी में पानी डालता है। इसके द्वारा किया गया कार्य हमेशा धनात्मक (+) लिया जाता है।
- Outlet Pipe / Leak (निकास नल / रिसाव / छेद): वह पाइप या छेद जो टंकी से पानी बाहर निकालता है। इसके द्वारा किया गया कार्य हमेशा ऋणात्मक (-) लिया जाता है।
- Total Capacity (टंकी की कुल क्षमता): टंकी में कुल कितना पानी समा सकता है। गणना को आसान बनाने के लिए हम इसे अलग-अलग नलों द्वारा लिए गए समय का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) मान लेते हैं।
- Efficiency (कार्यक्षमता): किसी नल द्वारा 1 घंटे या 1 मिनट में किया गया कार्य (भरा या खाली किया गया पानी का भाग)।
भाग 2: महत्वपूर्ण सूत्र और नियम (Fundamental Formulas)
NCERT गणितीय सिद्धांतों के अनुसार, यदि कोई नल किसी टंकी को व्यवस्थित समय में भरता है, तो उसकी क्षमता को व्युत्क्रम (Invert) करके एक इकाई समय का कार्य निकाला जाता है:
यदि नल A किसी टंकी को ‘x’ घंटे में भर सकता है, तो 1 घंटे में भरा गया भाग:
यदि नल B किसी भरी टंकी को ‘y’ घंटे में खाली कर सकता है, तो 1 घंटे में खाली किया गया भाग:
यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए, तो 1 घंटे का नेट कार्य:
टंकी को भरने में लगा कुल समय (यदि x < y हो):
किसी पाइप से पानी बहने की गति (क्षमता) उसके व्यास के वर्ग (Square of Diameter) के समानुपाती होती है।
भाग 3: प्रश्नों को हल करने की सर्वोत्तम विधि (LCM Method)
प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC CGL, CHSL, RRB NTPC, ALP) में समय बचाने के लिए भिन्न विधि के स्थान पर LCM Method सबसे सटीक और तीव्र माना जाता है। इसके चरण निम्नलिखित हैं:
- दिए गए सभी समयों का LCM निकालें → इसे कुल क्षमता (Total Capacity) मानें।
- कुल क्षमता को प्रत्येक नल के समय से भाग देकर उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता (Efficiency) निकालें।
- खाली करने वाले नल की क्षमता के आगे ऋणात्मक (-) चिह्न लगाएं।
- कुल कार्यक्षमता का योग कर, कुल क्षमता को उससे भाग दें जिससे अभीष्ट समय प्राप्त होगा।
भाग 4: परीक्षा-उन्मुख उदाहरण एवं विस्तृत हल (Example Questions)
हल (LCM Method):
• स्टेप 1: 12 और 18 का LCM = 36 यूनिट (टंकी की कुल क्षमता = 36)
• स्टेप 2: प्रत्येक पाइप की कार्यक्षमता (Efficiency) ज्ञात करें:
A की क्षमता = 36 / 12 = +3 यूनिट/घंटा
B की क्षमता = 36 / 18 = +2 यूनिट/घंटा
• स्टेप 3: दोनों की संयुक्त क्षमता = 3 + 2 = 5 यूनिट/घंटा
• स्टेप 4: कुल समय = कुल क्षमता / संयुक्त क्षमता = 36 / 5 = 7(1/5) घंटे।
किंतु 1/5 घंटे = (1/5) * 60 मिनट = 12 मिनट।
उत्तर: टंकी को भरने में कुल 7 घंटे 12 मिनट का समय लगेगा।
हल:
• स्टेप 1: 20 और 30 का LCM = 60 यूनिट (कुल क्षमता = 60)
• स्टेप 2: क्षमता ज्ञात करें (निकास नल को ऋणात्मक लें):
P की क्षमता = 60 / 20 = +3 यूनिट/मिनट
Q की क्षमता = 60 / 30 = -2 यूनिट/मिनट
• स्टेप 3: नेट क्षमता (P + Q) = 3 + (-2) = +1 यूनिट/मिनट
• स्टेप 4: कुल समय = 60 / 1 = 60 मिनट।
उत्तर: खाली हॉज को भरने में 60 मिनट (या 1 घंटा) लगेगा।
हल:
• स्टेप 1: 15 और 20 का LCM = 60 यूनिट (कुल क्षमता = 60)
• स्टेप 2: क्षमता निर्धारण:
A की क्षमता = 60 / 15 = +4 यूनिट/मिनट
B की क्षमता = 60 / 20 = +3 यूनिट/मिनट
• स्टेप 3: चूंकि A को कार्य समाप्त होने से 4 मिनट पहले बंद किया गया, अतः अंतिम 4 मिनट केवल B ने कार्य किया।
अंतिम 4 मिनट में B का कार्य = 4 मिनट * 3 यूनिट = 12 यूनिट।
• स्टेप 4: शेष कार्य जो शुरुआत में A और B दोनों ने मिलकर किया था:
शेष कार्य = 60 – 12 = 48 यूनिट।
A + B की संयुक्त क्षमता = 4 + 3 = 7 यूनिट/मिनट।
शुरुआती संयुक्त समय = 48 / 7 = 6(6/7) मिनट।
• स्टेप 5: कुल समय = 6(6/7) मिनट + अंतिम 4 मिनट = 10(6/7) मिनट।
उत्तर: टंकी को भरने में कुल 10(6/7) मिनट लगेंगे।
हल:
• स्टेप 1: 10 और 20 का LCM = 20 यूनिट (कुल क्षमता = 20)
• स्टेप 2: क्षमता: A = +2 यूनिट/घंटा, B = +1 यूनिट/घंटा।
• स्टेप 3: 1 चक्र (Cycle) = 2 घंटे (1st घंटा A + 2nd घंटा B)
2 घंटे में हुआ कुल कार्य = 2 + 1 = 3 यूनिट।
• स्टेप 4: 20 यूनिट के निकट पहुँचने के लिए चक्र को 6 से गुणा करते हैं:
6 चक्र (6 * 2 = 12 घंटे) में हुआ कार्य = 3 * 6 = 18 यूनिट।
• स्टेप 5: शेष कार्य = 20 – 18 = 2 यूनिट।
अब 13वें घंटे में बारी पुनः A की आएगी। A की क्षमता 2 यूनिट/घंटा है।
A को शेष 2 यूनिट कार्य करने में लगा समय = 2 / 2 = 1 घंटा।
• स्टेप 6: कुल समय = 12 घंटे + 1 घंटा = 13 घंटे।
उत्तर: टंकी पूर्णतः 13 घंटे में भर जाएगी।
हल:
• स्टेप 1: माना पंप = A, रिसाव = B.
पंप (A) का समय = 3 घंटे
पंप + रिसाव (A + B) का समय = 3.5 घंटे = 7/2 घंटे
• स्टेप 2: कुल क्षमता (3 और 7 का LCM) = 21 यूनिट।
• स्टेप 3: क्षमता ज्ञात करें:
A की क्षमता = 21 / 3 = +7 यूनिट/घंटा
(A + B) की क्षमता = 21 / (7/2) = 21 * (2/7) = +6 यूनिट/घंटा
• स्टेप 4: रिसाव (B) की व्यक्तिगत क्षमता निकालें:
A + B = 6 → 7 + B = 6 → B = 6 – 7 = -1 यूनिट/घंटा (यहाँ ऋणात्मक मान खाली करने को प्रदर्शित करता है)
• स्टेप 5: रिसाव द्वारा टंकी खाली करने में लगा समय = 21 / 1 = 21 घंटे।
उत्तर: टैंक में हुआ रिसाव भरी टंकी को 21 घंटे में पूरी तरह खाली कर देगा।
• समानता: पहले घंटे के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज की तरह ही, यदि टंकी खाली हो तो पहले घंटे में केवल भरने वाले नल का कार्य ही प्रभावी होता है।
• रिसाव ट्रिक: यदि भरने का समय ‘x’ हो और लीक के कारण समय ‘y’ लगे, तो लीक द्वारा खाली करने का समय सीधे = (x * y) / (y – x) होता है।
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पाइप्स एंड सिस्टर्न (Pipes & Cisterns)
- इस टेस्ट में कुल 50 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) शामिल हैं।
- प्रश्नों का स्तर बेसिक से लेकर एडवांस (RRB, SSC परीक्षाओं के नवीनतम पैटर्न) तक है।
- प्रत्येक प्रश्न के लिए ठीक 40 सेकंड का समय मिलेगा।
- विकल्प चुनते ही उत्तर की जांच होगी और अगला प्रश्न स्वतः (Auto-next) आ जाएगा।
- समय समाप्त होने पर भी प्रश्न स्वतः बदल जाएगा।
- प्रश्नों का क्रम पूरी तरह से रैंडम (यादृच्छिक) होगा।
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